はじめまして。相談内容を読ませていただきました。
歯肉（歯茎）が下がってきましても矯正治療は可能です。
歯は歯槽骨（歯を支えている骨）の中に埋まっています。歯肉のラインが下がるということは、
１、加齢により歯槽骨が減ってきて下がってきてしまう。
２、歯周病により歯槽骨が破壊されて下がってくる。
ということが考えられます。

３７歳という年齢から考えますと加齢による歯肉のラインが下がっても矯正治療に影響を受けることはありません。
歯周病による原因の場合、どのくらいの歯槽骨が残っているのかということが重要です。歯の根の3分の１以下まで減ってしまうと歯を動かすことも難しくなってきます。
また、歯肉のラインが下がっていなくとも歯周病になっている歯を動かしますと歯周病を悪化させてしまうので好ましくありません。歯周病の治療後に矯正治療を行うことになります。
歯が動かせる状態か否かはその方の状態にかかってしまいます。正確に判断するには矯正病院に来院していただき、検査をしていただくことが一番確実となります。
一般的に判断させていただきますと、みさ様の矯正治療は可能だとおもいます。
また歯肉のラインが下がってだいぶ弱くなったと思われるのであれば、むしろ将来の歯周病悪化の防止のために矯正治療をおこなうことは良いことだとおもいます。